αναλυτική γεωμετρία

Με τον όρο αυτό νοείται το σύνολο των μεθόδων που επιτρέπουν συστηματικά τη μετάφραση γεωμετρικών προβλημάτων σε προβλήματα αναλυτικά και, σε συνέχεια, τη γεωμετρική παράσταση των αποτελεσμάτων, τα οποία προκύπτουν. Ως θεμελιωτές της α.γ. θεωρούνται ο Καρτέσιος και ο Φερμά. Το πρώτο πρόβλημα που τίθεται στην α.γ. είναι εκείνο της παράστασης ενός σημείου με ορισμένους αριθμούς, οι οποίοι ονομάζονται συντεταγμένες του σημείου. Αυτή η παράσταση γίνεται με πολλούς τρόπους· από αυτούς ο πρώτος, ο οποίος ανάγεται ουσιαστικά στον Καρτέσιο και τον Φερμά, και χρησιμοποιείται συνηθέστερα, είναι η μέθοδος των καρτεσιανών συντεταγμένων, η οποία χρησιμοποιείται τόσο στη γεωμετρία του επιπέδου όσο και στη γεωμετρία του χώρου. H μέθοδος συνίσταται στο εξής: αφού ληφθούν επάνω σε ένα επίπεδο δύο κάθετες μεταξύ τους ευθείες με σημείο τομής, έστω Ο (μάλιστα, ας ληφθεί η μία οριζόντια, η οποία και θα ονομάζεται o άξονας των x, και η άλλη κατακόρυφη, η οποία και θα ονομάζεται ο άξονας των y), προσανατολίζουμε τον άξονα των x από τα αριστερά προς τα δεξιά και τον άξονα των y από κάτω προς τα πάνω. Έστω Ρ ένα τυχαίο σημείο του επιπέδου και Px, Py οι τομές, αντίστοιχα, με τους άξονες των x και y, των από το Ρ παράλληλων προς τον άξονα των y και προς τον άξονα των x (Σχ. 1). Θεωρούμε τα μέτρα (μήκη) των ευθύγραμμων τμημάτων OPx και OPy ως προς μία προκαθορισμένη μονάδα μέτρησης (π.χ. το μέτρο, το εκατοστό κλπ.) και τα προσημαίνουμε με το πρόσημο + ή με το πρόσημο -,καθόσον το Px έπεται ή προηγείται του Ο κατά τη φορά που έχει προκαθοριστεί επάνω στον άξονα των x, και το Py έπεται ή προηγείται του Ο κατά τη φορά που έχει προκαθοριστεί επάνω στον άξονα των y. Ας είναι x και y οι σχετικοί αριθμοί, οι οποίοι έχουν προκύψει με τον προηγούμενο τρόπο· οι αριθμοί αυτοί ονομάζονται συντεταγμένες του Ρ και τούτο συμβολίζεται με P(x,y). Η συντεταγμένη x ονομάζεται η τετμημένη του Ρ και η y ονομάζεται η τεταγμένη του Ρ. Αντίστροφα, αν ληφθούν δύο σχετικοί αριθμοί x και y, τότε με την αντίστροφο της προηγούμενης κατασκευή ορίζεται ακριβώς ένα σημείο του επιπέδου, το οποίο δέχεται ως τετμημένη την x και ως τεταγμένη την y. Οι δύο ευθείες x και y ονομάζονται καρτεσιανοί άξονες, το Ο αρχή των αξόνων και o παραπάνω τρόπος, με τον οποίο επιτυγχάνεται η αντιστοίχιση σε κάθε σημείο του επιπέδου των συντεταγμένων του, ονομάζεται σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένωνκαρτεσιανό επίπεδο. Κατά τα προηγούμενα, φαίνεται αμέσως ότι η αρχή Ο έχει συντεταγμένες 0, 0, ότι τα σημεία του άξονα x έχουν το y ίσο με το μηδέν και τα σημεία του άξονα των y έχουν το x ίσο με το μηδέν. Έστω τώρα μια οποιαδήποτε εξίσωση f(x, y) = 0 με δύο μεταβλητές x, y. Μπορούμε να αντιστοιχίσουμε σε αυτήν το σύνολο των ζευγών σχετικών αριθμών (x, y), τα οποία την επαληθεύουν· τα ζεύγη αυτά γενικά είναι άπειρα. Εάν σε ένα καρτεσιανό επίπεδο παρασταθούν με σημεία τα προηγούμενα ζεύγη, τότε θα προκύψουν άπειρα σημεία, τα οποία συναποτελούν μία καμπύλη. Συνεπώς, σε κάθε εξίσωση με δύο μεταβλητές αντιστοιχεί στο καρτεσιανό επίπεδο μία καμπύλη· οι αναλυτικές ιδιότητες της εξίσωσης μεταπίπτουν έτσι σε γεωμετρικές ιδιότητες της καμπύλης και αντίστροφα. Με τον προηγούμενο τρόπο το καρτεσιανό επίπεδο γίνεται μια γέφυρα μεταξύ της άλγεβρας και της γεωμετρίας. Μια καμπύλη λέγεται αλγεβρική, εάν η εξίσωσή της δίνεται από ένα πολυώνυμο των x και y που εξισώνεται με μηδέν, υπερβατική στην αντίθετη περίπτωση. Για παράδειγμα, οι καμπύλες με εξισώσεις: x – y = 0, xy – 1 = 0, y – x² = 0, x² + y² – 1 = 0 είναι όλες αλγεβρικές και παρασταίνουν αντίστοιχα μια ευθεία, μια υπερβολή, μια παραβολή, έναν κύκλο, ενώ οι καμπύλες με εξισώσεις: y – ημx = 0, y – 1ogx = 0 είναι υπερβατικές. Για τις αλγεβρικές καμπύλες και μόνο εισάγεται η έννοια του βαθμού· αυτός είναι εξ ορισμού ο βαθμός του πολυώνυμου, το οποίο εξισούμενο με μηδέν δίνει την εξίσωση της καμπύλης που εξετάζεται. Για παράδειγμα, από τις προηγούμενες αλγεβρικές καμπύλες η πρώτη είναι πρώτου βαθμού, ενώ όλες οι άλλες είναι δεύτερου βαθμού. Οι περισσότερο απλές αλγεβρικές καμπύλες είναι εκείνες του πρώτου βαθμού, δηλαδή εκείνες των οποίων η εξίσωση είναι της μορφής: αx + βy + γ = 0, όπου οι αριθμοί α, β, γ είναι πραγματικοί και ένας τουλάχιστον από τους α,β διάφορος από το 0. Πράγματι, αποδεικνύεται ότι οι καμπύλες αυτές είναι ευθείες και αντίστροφα ότι κάθε ευθεία έχει ως εξίσωση μια εξίσωση πρώτου βαθμού, δηλαδή είναι μια αλγεβρική καμπύλη πρώτου βαθμού.Ακριβέστερα αποδεικνύεται ότι η ευθεία, η οποία διέρχεται από τα δύο σημεία P₁ (x₁, y₁) και P₂ (x₂, y₂) με x₁≠ x₂ και y₁≠ y₂ έχει ως εξίσωση την: Π.χ. εάν τα δύο σημεία είναι: P₁ (2, 1) και P₂ (-2, -3), τότε, με εφαρμογή του προηγούμενου τύπου, προκύπτει ότι η εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από ταπροηγούμενα δύο σημεία, είναι x – y – 1 = 0· έτσι, αν παρασταθούν σε καρτεσιανό επίπεδο τα σημεία Ρ₁, Ρ₂ (επομένως, τότε και η ευθεία που διέρχεται από αυτά), είναι δυνατόν να επαληθευτεί ότι τα σημεία της έχουν συντεταγμένες x, y οι οποίες επαληθεύουν την εξίσωση x – y – 1 = 0 (Σχ. 2). Σχετικά με τις ευθείες παρουσιάζονται διάφορα προβλήματα γεωμετρικά, τα οποία είναι δυνατόν να μεταφραστούν σε αναλυτική γλώσσα. Για παράδειγμα, το πρόβλημα εύρεσης του σημείου τομής των δύο ευθειών, αx + βy + γ = 0, α’x + β’y + γ’ = 0, όπου α, β, γ, α’, β’, γ’ είναι δεδομένοι πραγματικοί αριθμοί, ισοδυναμεί με τη λύση του συστήματος, που αποτελείται από τις εξισώσεις των παραπάνω δύο ευθειών. Εάν οι δύο ευθείες είναι παράλληλες, τότε θα προκύψει ότι το σύστημα είναι αδύνατο, δηλαδή δεν έχει λύση και αντίστροφα. Επειδή η συνθήκη μη ύπαρξης λύσης του παραπάνω συστήματος είναι, όπως εύκολα αποδεικνύεται, αβ’ – α’β = 0 και αγ’ – α’γ ≠ 0, συνάγεται ότι οι δύο ευθείες με εξισώσεις: αx + βy + γ = 0, α’x + β’y + γ’ = 0 είναι παράλληλες εάν (και μόνο εάν) ισχύουν αβ’ – α’β = 0 και αγ’ – α’γ ≠ 0. Για να φωτιστεί καλύτερα ό,τι έχει αναφερθεί προηγουμένως σχετικά με τη δυνατότητα της επίλυσης ενός γεωμετρικού προβλήματος αναλυτικά, αναφέρουμε ως παράδειγμα το θεώρημα της στοιχειώδους γεωμετρίας, το οποίο βεβαιώνει ότι οι τρεις διάμεσες κάθε τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το κέντρο βάρους του τριγώνου. Οι κορυφές Α, Β, Γ του τριγώνου παριστάνονται από τρία σημεία του καρτεσιανού επιπέδου με γνωστές συντεταγμένες. Από την παρατήρηση ότι το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος έχει ως τετμημένη και τεταγμένη, αντίστοιχα, το ημιάθροισμα των τετμημένων και το ημιάθροισμα των τεταγμένων των άκρων του, ορίζονται οι συντεταγμένες των μέσων των τριών πλευρών του τριγώνου και συνεπώς –με εφαρμογή του τύπου, που δόθηκε προηγουμένως για την εξίσωση της ευθείας, η οποία ορίζεται από δύο σημεία– βρίσκονται οι εξισώσεις των τριών διαμέσων του τριγώνου. Η αναλυτική απόδειξη του θεωρήματος σημαίνει την επαλήθευση ότι το σύστημα των εξισώσεων των δύο από τις τρεις διαμέσους δέχεται ακριβώς μία λύση, η οποία επαληθεύει και την εξίσωση της τρίτης διαμέσου, γεγονός που διαπιστώνεται εύκολα. Επίσης, με κατάλληλη εφαρμογή του πυθαγόρειου θεωρήματος αποδεικνύεται ότι η απόσταση δύο σημείων Ρ₁ (x₁, y₁), P₂ (x₂, y₂) δίνεται από την παράσταση: [(x₁ – x₂)₂ + (y₁ – y₂)²]1/2 (Σχ. 3). Από εδώ προκύπτει αμέσως η εξίσωση της περιφέρειας με κέντρο το σημείο Κ (α, β) και ακτίνα ρ. Ακριβώς επειδή η περιφέρεια είναι γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου με απόσταση ρ από το σημείο Κ, κάθε σημείο της P(x, y) θα είναι τέτοιο, ώστε να ισχύει: (x – α)² + (y – β)² = ρ² και αντίστροφα κάθε σημείο που επαληθεύει την παραπάνω εξίσωση, επειδή θα έχει απόσταση ρ από το Κ, ανήκει στην περιφέρεια. Συνεπώς, αν, για συντομία της γραφής, τεθεί γ = α² + β² – ρ², η εξίσωση της περιφέρειας θα γραφτεί x² + y² – 2αx – 2βy + γ = 0. Το πρόβλημα της τομής μιας ευθείας με εξίσωση αx + βy + γ = 0 με μία περιφέρεια ισοδυναμεί αναλυτικά με τη λύση του συστήματος, που αποτελείται από τις αντίστοιχες εξισώσεις με απαλοιφή του y μεταξύ των παραπάνω εξισώσεων· προκύπτει μία εξίσωση δεύτερου βαθμού ως προς x, της οποίας οι δύο ρίζες, αν είναι πραγματικοί αριθμοί, δίνουν τις τετμημένες των δύο σημείων τομής της ευθείας και της περιφέρειας. Οι τεταγμένες υπολογίζονται με αντικατάσταση των τετμημένων, που βρέθηκαν, στην εξίσωση της ευθείας. Συνεπώς, το συμπέρασμα θα είναι ότι η ευθεία είναι εφαπτόμενη ή τέμνουσα της περιφέρειας, καθόσον οι ρίζες της παραπάνω δευτεροβάθμιας εξίσωσης ως προς x συμπίπτουν ή είναι διάφορες μεταξύ τους. Εάν οι ρίζες της προηγούμενης εξίσωσης ως προς x είναι μιγαδικές, τότε η ευθεία θα είναι εξωτερική της περιφέρειας. Η περιφέρεια, όπως είναι ήδη γνωστό, παριστάνεται από μία εξίσωση δεύτερου βαθμού ως προς x και y. Με την ευκαιρία τίθεται το πρόβλημα, ποιοι τύποι καμπυλών παριστάνονται με την πλέον γενική εξίσωση δεύτερου βαθμού: αx² + βxy + γy²δx + εy + ζ = 0. Σχετικά αποδεικνύεται ότι οι καμπύλες αυτές είναι οι κωνικές, δηλαδή οι καμπύλες που προκύπτουν ως τομές ενός επιπέδου και μιας κωνικής επιφάνειας εκ περιστροφής. Με τρόπο ανάλογο με εκείνον που εφαρμόστηκε για το επίπεδο, ορίζεται ένα καρτεσιανό σύστημα αναφοράς στον χώρο. Αυτό ορίζεται από τρεις ευθείες, οι oποίες θα ονομάζονται άξονας των x, άξονας των y, άξονας των z, κάθετες ανά δύο, που διέρχονται από ένα σημείο Ο και προσανατολίζονται κατά έναν τρόπο. Έστω ένα σημείο Ρ του χώρου· θεωρούμε το επίπεδο από το Ρ το παράλληλο προς το επίπεδο, που ορίζεται από τους άξονες των y και των z (σύντομα: επίπεδο yz)· το επίπεδο αυτό τέμνει τον άξονα των x σε ένα σημείο Px. Ανάλογα το επίπεδο από το P το παράλληλο προς το επίπεδο xz τέμνει τον άξονα των y σε ένα σημείο Py και ομοίως το επίπεδο από το P, το παράλληλο προς το επίπεδο xy, τέμνει τον άξονα των z σε ένα σημείο Pz. Τα μέτρα (μήκη) των ευθύγραμμων τμημάτων OPx, OPy, OPz ως προς μία προκαθορισμένη μονάδα μέτρησης προσημασμένα με το πρόσημο + ή με το πρόσημο -, καθόσον τα σημεία Px, Py, Pz αντίστοιχα έπονται ή προηγούνται του Ο κατά τις προκαθορισμένες φορές, πάνω στους άξονες θα ονομάζονται οι συντεταγμένες του P (Σχ. 4). Ιδιαίτερα η x ονομάζεται τετμημένη, η y τεταγμένη, η z κατηγμένητου σημείου Ρ. Αντίστροφα, αν δοθούν τρεις σχετικοί αριθμοί x, y, z, τότε με την αντίστροφη της προηγούμενης κατασκευής επιτυγχάνεται να οριστεί ακριβώς ένα σημείο Ρ με το x ως τετμημένη, το y ως τεταγμένη και το z ως κατηγμένη του. Ο τρεις ευθείες x, y, z ονομάζονται καρτεσιανοί άξονες, το Ο αρχή των αξόνων και o τρόπος με τον οποίο επιτυγχάνεται η αντιστοίχιση σε κάθε σημείο των συντεταγμένων του ονομάζεται σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων. Το σημείο Ο έχει προφανώς συντεταγμένες 0, 0, 0, τα σημεία του επιπέδου xy έχουν το z = 0, εκείνα του επιπέδου xz έχουν το y = 0 και εκείνα του επιπέδου yz έχουν το x = 0. Τα σημεία του άξονα των x έχουν y = 0, z = 0, εκείνα του άξονα y έχουν x = 0, z = 0 και εκείνα του άξονα z έχουν x = 0, y = 0. Έστω τώρα ότι δόθηκε μια εξίσωση f(x, y, z)· το σύνολο των σημείων P(x, y, z), των οποίων οι συντεταγμένες επαληθεύουν την εξίσωση συναποτελούν, γενικά, μια επιφάνεια. Η εξίσωση f(x, y, z) = 0 ονομάζεται εξίσωση επιφάνειας. Επίσης, και εδώ οι αναλυτικές ιδιότητες της εξίσωσης f(x, y, z) = 0 μεταπίπτουν σε γεωμετρικές ιδιότητες της επιφάνειας και αντίστροφα. Μια επιφάνεια θα ονομάζεται αλγεβρικήυπερβατική, εφόσον η εξίσωσή της είναι ή όχι ένα πολυώνυμο εξισωμένο με μηδέν. Αν η επιφάνεια είναι αλγεβρική, τότε ορίζεται ως ο βαθμός της επιφάνειας o βαθμός του πολυώνυμου. Οι περισσότερο απλές επιφάνειες είναι εκείνες του πρώτου βαθμού, δηλαδή με εξίσωση της μορφής αx + βy + γz + δ = 0 (με τα α, β, γ, δ γνωστούς πραγματικούς αριθμούς και τουλάχιστον τον έναν από τους α, β, γ διάφορο από το Ο) αποδεικνύεται ότι οι επιφάνειες αυτές είναι επίπεδα και αντίστροφα ότι κάθε επίπεδο έχει ως εξίσωσή του μία του προηγούμενου τύπου. Για την αναλυτική παράσταση μιας καμπύλης του χώρου χρειάζεται να θεωρηθούν δύο επιφάνειες, οι οποίες να διέρχονται από την καμπύλη· τότε η καμπύλη θα παρασταθεί από το σύστημα που αποτελούν οι εξισώσεις των παραπάνω επιφανειών. Έτσι, μια ευθεία του χώρου παριστάνεται από το σύστημα των εξισώσεων δύο επιπέδων, τα οποία διέρχονται από αυτή· π.χ. ο άξονας των x έχει ως εξισώσεις του: y = 0, z = 0. Είναι φανερό ότι o σκοπός των όσων έχουν εκτεθεί εδώ είναι να δοθεί μια γενική ιδέα της α.γ. Από τα προηγούμενα πάντως συνάγεται καθαρά ότι αυτή είναι προπαντός μια μέθοδος για τη διαπραγμάτευση γεωμετρικών προβλημάτων· το ενδιαφέρον γι’ αυτή βασίζεται στο γεγονός ότι η α.γ. προσφέρει στη γεωμετρία όλα τα μέσα και τις αποδεικτικές μεθόδους της άλγεβρας.